平衡二叉树调研报告

问：平衡二叉树算法时间复杂度分析与优点

1. 答：的时间复杂度是log(n)，如果二叉树的元素个数为n，那么不管是对树进行插入节点、查找、删除节点都是log(n)次循环调用就可以了。它的时间闹橡复杂度相对于其他如数组等是最优的搜纳。世弯没
2. 答：平衡二叉树（AVL）
   那对图 1 进行下改造，把数据重新节点重新连接下，图 2 如下：
   图 2 可以看到以下特性：
   1. 所有左子树的节点都小于其对应的父节点（4，5，6）<（7）；（4）<（5）；（8）< （9）；
   2. 所有右子树上的节点都大于其对应的父节点（8，9，10）>（7）孙猛；（6）>（5）；（10）>（9）；
   3. 每个节点的平衡因子差值绝对值 <=1；
   4. 每个节点都符合以上三个特征。
   满足这样条件的树叫平衡二叉树（AVL）树。
   问：那再次查找节点 5，需要遍历多少次呢？
   由于数据是按照顺序组织的，那查找起来非常快，从上往下找：7-5，只需要在左子树上查找，也就是遍历 2 次就找到了 5。假设要找到叶子节点 10，只需要在右子树上查找，那也最多需要 3 次，7-9-10。也就说 AVL 树在查找方面性能很好，最坏的情况是找到一个节点需要消耗的次数也就是树的层数， 复杂度为 O(logN)
   如果节点非常纤凯郑多呢？假设现在有 31 个节点，用 AVL 树表示如图 3：
   图 3 是一棵高度为 4 的 AVL 树，有 5 层共 31 个节点，橙色是毁颂 ROOT 节点，蓝色是叶子节点。对 AVL 树的查找来看起来已经很完美了，能不能再优化下？比如，能否把这个节点里存放的 KEY 增加？能否减少树的总层数？那减少纵深只能从横向来想办法，这时候可以考虑用多叉树。

问：平衡二叉树的作用

1. 答：我们知道，对于一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），其期望高度（即为一棵平衡树时）为log2n，其各操作的时间复杂度（O(log2n)）同时也由此而决定。但是，在某些极端的情况下（如在插入的序列是有序的时），二叉搜索树将退化成近似链或链，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，由于在删除时，我们总是选择将待删除节点的知纯后继代替它本身，这样就会造成总是右边的节点数目减少，以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏，提高它的操作的时间复杂度。
   平衡二叉搜索树（Balanced Binary Tree）具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。常用算法有红黑树、AVL、Treap、伸展树等。在平衡二叉搜索树中，我们可以看到，其高度一般都野猛瞎良好地维持在O（log2n），大颂空大降低了操作的时间复杂度。
2. 答：平衡二叉树（AVL）
   那对图 1 进行下改造，把数据重新节点重新连接下，图 2 如下：
   图 2 可以看到以下特性：
   1. 所有左子树的节点都小于其对应的父节点（4，5，6）<（7）；（4）<（5）；（8）< （9）；
   2. 所有右子树上的节点都大于其对应的父节点（8，9，10）>（7）孙猛；（6）>（5）；（10）>（9）；
   3. 每个节点的平衡因子差值绝对值 <=1；
   4. 每个节点都符合以上三个特征。
   满足这样条件的树叫平衡二叉树（AVL）树。
   问：那再次查找节点 5，需要遍历多少次呢？
   由于数据是按照顺序组织的，那查找起来非常快，从上往下找：7-5，只需要在左子树上查找，也就是遍历 2 次就找到了 5。假设要找到叶子节点 10，只需要在右子树上查找，那也最多需要 3 次，7-9-10。也就说 AVL 树在查找方面性能很好，最坏的情况是找到一个节点需要消耗的次数也就是树的层数， 复杂度为 O(logN)
   如果节点非常纤凯郑多呢？假设现在有 31 个节点，用 AVL 树表示如图 3：
   图 3 是一棵高度为 4 的 AVL 树，有 5 层共 31 个节点，橙色是毁颂 ROOT 节点，蓝色是叶子节点。对 AVL 树的查找来看起来已经很完美了，能不能再优化下？比如，能否把这个节点里存放的 KEY 增加？能否减少树的总层数？那减少纵深只能从横向来想办法，这时候可以考虑用多叉树。

问：平衡二叉树的各种算法实现

1. 答：平衡二叉树（AVL）
   那对图 1 进行下改造，把数据重新节点重新连接下，图 2 如下：
   图 2 可以看到以下特性：
   1. 所有左子树的节点都小于其对应的父节点（4，5，6）<（7）；（4）<（5）；（8）< （9）；
   2. 所有右子树上的节点都大于其对应的父节点（8，9，10）>（7）孙猛；（6）>（5）；（10）>（9）；
   3. 每个节点的平衡因子差值绝对值 <=1；
   4. 每个节点都符合以上三个特征。
   满足这样条件的树叫平衡二叉树（AVL）树。
   问：那再次查找节点 5，需要遍历多少次呢？
   由于数据是按照顺序组织的，那查找起来非常快，从上往下找：7-5，只需要在左子树上查找，也就是遍历 2 次就找到了 5。假设要找到叶子节点 10，只需要在右子树上查找，那也最多需要 3 次，7-9-10。也就说 AVL 树在查找方面性能很好，最坏的情况是找到一个节点需要消耗的次数也就是树的层数， 复杂度为 O(logN)
   如果节点非常纤凯郑多呢？假设现在有 31 个节点，用 AVL 树表示如图 3：
   图 3 是一棵高度为 4 的 AVL 树，有 5 层共 31 个节点，橙色是毁颂 ROOT 节点，蓝色是叶子节点。对 AVL 树的查找来看起来已经很完美了，能不能再优化下？比如，能否把这个节点里存放的 KEY 增加？能否减少树的总层数？那减少纵深只能从横向来想办法，这时候可以考虑用多叉树。