一、拟欧氏空间R_2~4中类空曲面的Gauss映射（论文文献综述）
张翠莲[1]（2021）在《奇异子流形的微分几何及其应用》文中研究表明本文主要研究了几类奇异几何对象的微分几何性质,分为局部微分几何性质和整体微分几何性质两部分.第一部分,我们研究了三维欧氏空间中允许含有奇点的实解析曲线的局部微分几何.通过引入（n,m）-尖点曲线的概念,我们对全体非平坦实解析曲线进行了分类.我们推广了经典微分几何中关于正则曲线的结论,给出了相应的基本定理和局部形状的刻画.基于计算方便和应用方便的考虑,我们又定义了修正的Frenet-Serret型标架,并且得到了相应的修正的Frenet-Serret型公式和几何不变量.作为应用,我们研究了经典微分几何中几种特殊曲线,如允许含有奇点的一般螺线、渐缩线和渐伸线,并且得到了渐缩线与渐伸线之间的对偶定理.另外,我们将该结果具体应用到了光学与力学的相关问题的研究中.对于一个经典的光学系统,我们给出了平面曲线镜（planar curvilinear mirror）、焦散线与波前上（n,m）-尖点之间的一一对应关系.我们又研究了力学中滚动球的运动问题,给出了滚动球运动轨迹上允许出现的奇点类型并且刻画了它在奇点处的运动性质.第二部分,我们研究了伪黎曼空间中子流形关于类光几何的整体微分几何性质.首先,我们给出了Minkowski空间中具有一般维数的类空子流形关于类光几何的GaussBonnet型公式.该研究将Gauss-Bonnet型公式可以讨论的范围进一步扩大,推进了对于Minkowski空间中类空子流形的整体性质的研究.其次,我们研究了三维de Sitter空间和三维双曲空间中允许含有奇点的波前的类光几何.我们定义了相应的光锥高斯映射并且得到了一些类光几何不变量.作为主要结果,我们给出了相应的Gauss-Bonnet型公式.它将允许含有奇点的子流形的类光几何与其拓扑性质联系在了一起.这个结果可以作为Einstein场方程解空间中奇异几何对象的整体性质的补充、完善.本文共分为五章.第一章主要介绍了本文的研究背景、研究历史、研究动机和意义.最后,简要介绍了全文的研究内容和结构安排.第二章给出了本文会涉及到的一些基本概念.第三章主要讨论了三维欧氏空间中实解析曲线的局部微分几何.首先,引入了（n,m）-尖点曲线的概念并且给出了推广的基本定理和局部形状的刻画.其次,引入了修正的Frenet-Serret型标架的概念,定义了（n,m）-尖点曲线的一般螺线、渐缩线和渐伸线并且研究了它们的奇异性质.最后,给出了渐缩线与渐伸线之间的对偶定理.第四章将渐缩线与渐伸线之间的对偶定理具体应用到了光学和力学的相关问题的研究中.首先,研究了一个经典光学系统中平面曲线镜（planar curvilinear mirror）、焦散线与波前上（n,m）-尖点间的一一对应关系.其次,给出了滚动球运动轨迹上允许出现的奇点类型并且刻画了它在奇点处的性质.第五章主要研究了伪黎曼空间中子流形关于类光几何的整体性质.首先,利用提升的方法给出了Minkowski空间中具有一般维数的类空子流形关于类光几何的GaussBonnet型公式.其次,考虑奇异的几何对象,主要研究了三维de Sitter空间和三维双曲空间中的波前的类光几何,并且给出了相应的Gauss-Bonnet型公式.
黄译萱[2]（2021）在《空间形式中某些特殊曲面的奇异性》文中研究说明平行曲面和直纹面是空间形式中两类特殊曲面,且经常存在奇点,例如尖棱和燕尾.本文第一部分研究平行曲面的奇点.在三维非平坦空间形式中,当初始曲面是尖棱曲面时,我们对平行曲面的奇点进行分类并探究其相关性质.首先定义尖棱处的主曲率和主方向,并利用主曲率和主方向给出尖棱处脊点的定义.通过脊点这一概念阐明初始尖棱的几何性质和平行曲面上奇点的关系.给出结论,初始尖棱在平行曲面上仍为尖棱当且仅当该初始尖棱不是脊点;初始尖棱在平行曲面上为燕尾当且仅当该初始尖棱为一阶脊点.本文第二部分探究直纹面上的奇点,此时初始曲面是混合型曲面.在三维闵可夫斯基空间中的曲面通常为混合型曲面.混合型曲面上第一类型类光点与front上的尖棱奇点有很多相似的性质.首先定义了三维闵可夫斯基空间中,沿着第一类型类光点的直纹面.研究此类直纹面上的奇点,并对直纹面上的奇点类型进行分类,给出直纹面上有尖棱奇点或燕尾奇点的充分必要条件.
吉春,方明,何延治[3]（2020）在《Anti de Sitter空间上伪类光曲线的类光超曲面》文中进行了进一步梳理主要研究了三维Anti de Sitter空间上伪类光曲线生成的类光超曲面.利用奇点理论对类光超曲面的奇点进行了分类,最后验证了该分类的通有性.
蒋瀛[4]（2020）在《四维非平坦空间中曲面的渐屈面》文中认为本文主要从奇点理论的角度研究非平坦四维空间中曲面的微分几何性质.首先分别研究了四维双曲空间与四维球空间中曲面的微分几何结构,给出了四维双曲空间与四维球空间中曲面的渐屈面的定义.从拉格朗日奇点理论的角度,研究了曲面和超球以及等距超曲面的切触.最后总结了四维非平坦空间形式中曲面的相应的结论.
黄杰[5]（2020）在《三维空间形式中的特殊曲线与曲面》文中研究说明本文主要研究了三维空间形式中的特殊曲线和特殊曲面的一些微分几何性质.2002年,日本学者Izumiya和Takeuchi从曲面上的曲线这一视角出发,研究了三维欧氏空间中贝特朗曲线和直纹面之间的关系[77].借助他们的想法,我们讨论了三维非平坦空间形式中贝特朗曲线和测地曲面之间的联系.对于欧氏空间中的奇异曲线,运用提升维数的思想,可以构造奇异曲线的活动标架,从而可以研究曲线在奇异点处的几何性质.本文应用上述方法,研究了三维黎曼空间形式中奇异贝特朗曲线和奇异曼海姆曲线的几何性质.最后,我们考虑三维欧氏空间中沿着奇异曲线生成的两类非可展直纹面,这两类直纹面分别为主法直纹面和副法直纹面.从奇点理论的视角出发,我们讨论了曲线上的奇点与曲面上的奇点之间的关系,并给出曲面的奇点分类.从几何不变量的视角出发,我们用非可展曲面上的结构函数来刻画特殊非可展直纹面.本文结构安排如下:第一章,主要介绍了奇点理论的背景和本文研究对象的发展现状,并简要阐述了全文的研究内容和结构安排.第二章,主要介绍了半欧氏空间中的一些非平坦子空间和子流形的概念.第三章,主要研究了三维非平坦空间形式中贝特朗曲线的几何性质,并根据曲线与曲面之间的位置关系,讨论了贝特朗曲线和测地曲面之间的关系.第四章,主要研究了三维黎曼空间形式中奇异贝特朗曲线和奇异曼海姆曲线的几何性质,并给出了具体例子.第五章,主要研究了三维欧氏空间中由奇异曲线生成的非可展直纹面上的奇点分类,并给出具体例子.
于海波[6]（2020）在《非平坦空间中奇异子流形的几何》文中进行了进一步梳理众所周知,双曲空间作为闵可夫斯基空间中的伪球,具有负常截面曲率.而球空间作为欧氏空间的子空间,具有正常截面曲率,它们都是非平坦的黎曼空间.本文从奇点理论的角度对这两类空间中的特殊奇异子流形的拓扑及微分几何性质进行研究.在3维双曲空间中,研究一类特殊的光滑曲线（称为标架曲线）,利用活动标架,定义了与标架曲线相关联的渐屈线和焦曲面,然后从奇点理论的角度讨论了渐屈线与焦曲面的关系,所用到的工具是距离平方函数族及分歧理论.作为结论,距离平方函数族的分歧集是焦曲面,而分歧集的奇异集恰好是渐屈线.在3维球空间中,主要探讨了两类特殊的奇异曲面的几何性质,这两类奇异曲面的奇异集都是非退化曲线,分别称为尖棱和燕尾.首先,定义了沿非退化曲线的3维球空间中的可展曲面,并分别称其为沿尖棱（或沿着燕尾）的外蕴非平坦大圆曲面.对于此类平坦曲面奇点的分类,我们引入了新的不变量.最后,利用奇点的判别方法对这两类特殊外蕴平坦曲面的奇点进行了分类,从而很好地揭示了奇点与这些不变量之间的关系.
嵩雪[7]（2019）在《指标为2的零锥上类时曲线的不定超曲面和不定曲面的奇点》文中指出本文研究指标为2的四维半欧氏空间中零锥上的类时曲线所生成的一类不定超曲面和不定曲面的奇点.建立了 R24空间曲线上清晰的微分几何理论框架,通过在零锥上建立标架,应用奇点理论中的开折理论,对不定超曲面和不定曲面上的奇点分类,指出不同奇点的类型通过几何不变量σ来估计.同时给出了密切零锥的定义,研究表明类时曲线的微分几何不变量σ度量了类时曲线和密切零锥ONCvD*之间的切触阶数.最后在结尾处给出了一个例子来更好的说明定理的结果.
周珂安[8]（2019）在《三维Minkowski空间中主方向曲线的伪球达布像和光锥像》文中研究指明本文研究非类光Frenet曲线γ的主方向曲线,沿着这条曲线建立了一个Frenet可替代的标架,定义了通过非类光Frenet曲线的主方向曲线生成的de Sitter达布像,双曲达布像和光锥像并且考虑到它们的奇点分类,模型曲线的切触和Legendrian对偶,研究了这些相关曲线的几何性质.结果表明,伪球达布像和光锥像能够出现一些重要的由不变量刻画的奇点（尖点）.更有意义的是,尖点与切触紧密相关,如:非类光Frenet曲线γ和斜螺线γ之间的切触,γ的主方向曲线分和螺线之间的切触或者主方向曲线Ψ和斜螺线之间的切触.除此之外,给出了在C-曲线和伪球达布像或C-曲线和光锥像之间的Legendrian对偶关系,同时提供了具体的例子来解释以上结论.
黎镇琦[9]（2018）在《Lorentz球面S1n+1中的Lorentz等参超曲面》文中研究表明对Riemann空间型中的等参超曲面有很多研究文献,至今已有近乎完美的结果.20世纪后期,对Lorentz空间R1n+1和Lorentz双曲空间H1n+1中的Lorentz等参超曲面前人已有完全分类.继续本文作者前面的工作,本文研究Lorentz球面S1n+1中的Lorentz等参超曲面,给出了所有种类的Lorentz等参超曲面的完全分类和解析表达式.
舒童[10]（2018）在《几何中的Monge-Ampère方程》文中进行了进一步梳理Monge-Ampère方程是一类重要的二阶完全非线性偏微分方程,主要起源于古典几何中的Weyl问题,Minkowski问题和Kahler几何中的Calabi猜想.实Monge-Ampère方程与最优运输问题,几何光学,共形几何以及仿射几何等联系紧密,复Monge-Ampère方程主要应用于复几何分析领域.本文主要考虑Riemannian流形（M,g）上具有如下形式的实Monge-Ampère方程:det（（?）2u + χ）=φ det g,（1）其中χ是（0,2）型张量.类似地,可定义Hermitian流形（M,ω）上的复Monge-Ampère方程,这两类方程都是完全非线性方程,主要考虑（1）和（2）是椭圆方程的情形,求解一般是采用经典的连续性方法,关键是得到解的C2,α估计,由Evans-Krylov定理,只需要建立解的C0,C1,C2估计.文章大致分为两部分,第一部分介绍古典几何问题中的实Monge-Ampère方程,并推导出几类经典问题（等距嵌入,预定Gauss曲率,最优运输问题,Minkowski问题）相应的Monge-Ampère方程,它们的形式都符合方程（1）.第二部分介绍复Monge-Ampère方程,重点介绍了 Yau的求解过程,求解关键在于零阶估计,一阶估计和二阶估计可被零阶估计控制,借助Evans-Krylov定理和Schauder估计,利用连续性方法证明解的存在性.
二、拟欧氏空间R_2~4中类空曲面的Gauss映射（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、拟欧氏空间R_2~4中类空曲面的Gauss映射（论文提纲范文）
（1）奇异子流形的微分几何及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 研究背景和研究动机 |
| 1.2 本文的研究内容及结构 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 Minkowski空间中伪球间的Legendre对偶 |
| 2.2 波前 |
| 3 (n,m)-尖点曲线的局部微分几何 |
| 3.1 (n,m)-尖点曲线 |
| 3.2 修正的Frenet-Serret型标架 |
| 3.3 (n,m)-尖点螺线 |
| 3.4 渐缩线和渐伸线之间的对偶定理 |
| 3.4.1 渐缩线 |
| 3.4.2 渐伸线 |
| 3.4.3 对偶定理 |
| 4 (n,m)-尖点曲线的局部微分几何在物理学中的应用 |
| 4.1 光学中的应用 |
| 4.2 力学中的应用 |
| 5 波前的整体微分几何 |
| 5.1 Minkowski空间中类空子流形的Gauss-Bonnet型定理 |
| 5.1.1 Minkowski空间中类空子流形的类光几何 |
| 5.1.2 类空子流形的Gauss-Bonnet型定理 |
| 5.2 三维双曲空间和三维de Sitter空间中波前的Gauss-Bonnet型定理 |
| 5.2.1 基本概念 |
| 5.2.2 类光几何 |
| 5.2.3 未来定向波前的Gauss-Bonnet型定理 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表论文及着作情况 |
（2）空间形式中某些特殊曲面的奇异性（论文提纲范文）
| 学位论?评阅专家及答辩委员会?员信息 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 背景介绍 |
| 1.2 三维空间形式的基本概念与性质 |
| 1.3 奇点分类及其其判别条件 |
| 2 三维非平坦空间形式中尖棱的平行曲面 |
| 2.1 尖棱处的主曲率和主方向 |
| 2.2 尖棱的标准形式 |
| 2.3 尖棱的平行曲面及其奇点 |
| 2.4 尖棱的扩张距离平方函数 |
| 3 三维闵可夫斯基空间中类光点的直纹面 |
| 3.1 混合型曲面的的定义及其性质 |
| 3.2 混合型曲面类光点处直纹面 |
| 3.3 混合型曲面类光点处直纹面的奇点 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（4）四维非平坦空间中曲面的渐屈面（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 背景介绍 |
| 1.2 基本概念 |
| 2 四维双曲空间中曲面的渐屈面 |
| 2.1 四维双曲空间中曲面的微分几何 |
| 2.2 高度函数 |
| 2.3 渐屈面作为焦散集 |
| 2.4 和超球、等距超曲面的切触 |
| 2.5 四维双曲空间中曲面的一般性质 |
| 3 四维球空间中曲面的渐屈面 |
| 3.1 四维球空间中曲面的微分几何 |
| 3.2 高度函数 |
| 3.3 渐屈面作为焦散集 |
| 3.4 和超球的切触 |
| 3.5 四维球空间中曲面的一般性质 |
| 4 四维非平坦空间形式中曲面的渐屈面 |
| 4.1 四维空间形式中曲面的微分几何 |
| 4.2 高度函数 |
| 4.3 渐屈面作为焦散集 |
| 4.4 和超球的切触 |
| 4.5 四维空间形式中曲面的一般性质 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（5）三维空间形式中的特殊曲线与曲面（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1 引言 |
| 1.1 背景介绍 |
| 1.2 本文的研究内容及结构 |
| 2 预备知识 |
| 3 三维非平坦空间形式中的特殊曲线与曲面 |
| 3.1 基本概念 |
| 3.2 非类光贝特朗曲线的性质 |
| 3.3 主法测地曲面的性质 |
| 4 三维黎曼空间形式中奇异的特殊曲线 |
| 4.1 基本概念 |
| 4.2 含奇异点的贝特朗曲线的几何性质 |
| 4.3 含奇异点的曼海姆曲线的几何性质 |
| 4.4 例子 |
| 5 三维欧氏空间中奇异的非可展直纹面 |
| 5.1 基本概念 |
| 5.2 主法直纹面上的奇点类型 |
| 5.3 副法直纹面上的奇点类型 |
| 5.4 直纹面上的几何拓扑不变量 |
| 5.5 例子 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表(投稿中)论文及着作情况 |
（6）非平坦空间中奇异子流形的几何（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1 引言 |
| S1.1 背景介绍 |
| S1.2 3维双曲空间的基本概念与性质 |
| S1.3 3维球空间的基本概念与性质 |
| S1.4 奇点的判别条件 |
| 2 3维双曲空间中标架曲线的渐屈线 |
| S2.1 渐屈线与焦曲面的定义 |
| S2.2 渐屈线与焦曲面的关系 |
| S2.3 双曲距离平方函数 |
| 3 3维球空间中沿着非退化曲线的外蕴平坦曲面 |
| S3.1 沿着尖棱的外蕴平坦曲面 |
| S3.2 沿着尖棱的外蕴平坦曲面的奇点 |
| S3.3 沿着燕尾的外蕴平坦曲面 |
| S3.4 沿着燕尾的外蕴平坦曲面的奇点 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（7）指标为2的零锥上类时曲线的不定超曲面和不定曲面的奇点（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.2 本章小结 |
| 第3章 单变量函数的开折和A_k类奇点 |
| 3.1 单变量函数的开折 |
| 3.2 A_k类奇点 |
| 3.3 本章小结 |
| 第4章 不定超曲面,不定曲面和曲线的奇点 |
| 4.1 不定超曲面,不定曲面和曲线的奇点 |
| 4.2 类时曲线的通有性质 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 例子 |
| 5.1 R_2~4中的例子及其计算 |
| 5.2 例子中临界值集的像 |
| 5.3 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间所发表的学术论文 |
| 致谢 |
（8）三维Minkowski空间中主方向曲线的伪球达布像和光锥像（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.2 本章小结 |
| 第3章 高度函数,A_k类奇点和切触 |
| 3.1 高度函数 |
| 3.2 A_k类奇点 |
| 3.3 切触 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 函数开折,尖点,一般螺线和斜螺线 |
| 4.1 函数开折及其相关结论 |
| 4.2 一般螺线和斜螺线 |
| 4.3 Legendrian对偶关系 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 例子 |
| 5.1 实例一 |
| 5.2 实例二 |
| 5.3 实例三 |
| 5.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间所发表的学术论文 |
| 致谢 |
（10）几何中的Monge-Ampère方程（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引言 |
| 1.1 符号说明 |
| 第二章 古典微分几何与实Monge-Ampère方程 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 实Monge-Ampère方程 |
| 2.3 Minkowski问题 |
| 2.4 Plateau问题 |
| 第三章 Calabi猜想与复Monge-Ampère方程 |
| 3.1 背景介绍 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 Calabi猜想的证明 |
| 3.4 Calabi猜想与Kahler-Einstein度量的关系 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
四、拟欧氏空间R_2~4中类空曲面的Gauss映射（论文参考文献）
- [1]奇异子流形的微分几何及其应用[D]. 张翠莲. 东北师范大学, 2021(09)
- [2]空间形式中某些特殊曲面的奇异性[D]. 黄译萱. 东北师范大学, 2021
- [3]Anti de Sitter空间上伪类光曲线的类光超曲面[J]. 吉春,方明,何延治. 数学的实践与认识, 2020(21)
- [4]四维非平坦空间中曲面的渐屈面[D]. 蒋瀛. 东北师范大学, 2020(02)
- [5]三维空间形式中的特殊曲线与曲面[D]. 黄杰. 东北师范大学, 2020(01)
- [6]非平坦空间中奇异子流形的几何[D]. 于海波. 东北师范大学, 2020(01)
- [7]指标为2的零锥上类时曲线的不定超曲面和不定曲面的奇点[D]. 嵩雪. 哈尔滨师范大学, 2019(01)
- [8]三维Minkowski空间中主方向曲线的伪球达布像和光锥像[D]. 周珂安. 哈尔滨师范大学, 2019(01)
- [9]Lorentz球面S1n+1中的Lorentz等参超曲面[J]. 黎镇琦. 中国科学:数学, 2018(06)
- [10]几何中的Monge-Ampère方程[D]. 舒童. 厦门大学, 2018(07)