一、积分中值定理的推广及在常微分方程中的应用（论文文献综述）
周诗乐[1]（2021）在《具有奇性的二阶微分方程周期解问题的研究》文中认为本文研究了具有吸引型奇性与不定奇性的二阶微分方程周期正解的存在性问题.全文分为四章,主要安排如下:第一章介绍了微分方程的相关背景,分析了现阶段国内外关于奇性微分方程理论研究的现状,定义了本文常用的一些记号,这些记号为本文的研究提供了帮助.同时我们引用了与拓扑度有关的若干重要定理,它们是本文的理论基础.第二章研究了一类具有吸引型奇性的Rayleigh方程周期解的存在性问题.本章首先通过极值定理对目标方程的所有可能周期正解进行先验界估计,然后在此基础上,利用Mawhin重合度拓展定理来证明其周期正解的存在性.不同于已有文献,本章允许目标方程的恢复力项系数函数可变号,这使得先验界的估计更加困难.第三章研究了一类具有不定奇性的Lienard方程周期正解的存在性问题.本章的理论基础是Mawhin重合度拓展定理,这与第二章相同.与第二章不同的是周期解先验界的估计方法.具体为本章估计目标方程的周期解先验界在一个无界集合上进行的,而第二章中所考虑方程的周期解先验估计则是在全空间上进行的,这是本章的创新点.第四章主要研究了一类具有相对论作用的奇性微分方程周期解的存在性.应用重合度拓展定理获得了方程周期正解的存在性,并且估计出每个周期解的上界和下界.最后,第五章对全文进行了总结,并对相关奇性微分方程周期正解存在性问题进行了进一步的展望与思考.
刘霞[2]（2021）在《记忆依赖型微分方程解的性态研究》文中研究表明分数阶导数（FD）是对普通导数的推广,为人们研究更为复杂的系统和现象提供了方法.二十世纪的后半段,FD在力学,图像处理等领域得到了广泛的应用.但其无法摆脱对固定点的依赖,记忆依赖的区间长度会随着时间的增加而增加,从而使其记忆效应失效.而且其核函数的形式是固定不变的,不能根据实际情况进行选择.因此在此基础之上,Wang等人提出了记忆依赖型导数（MDD）,现广泛应用于广义热粘弹性等方面.相较于FD而言,MDD的核函数能够按照应用状况自由选择,灵活性更强.除此之外,摆脱了分数阶导数对固定点的依赖.利用其构造的记忆依赖型微分方程更具表现力.在本文中,记忆依赖型导数被引入一阶和二阶微分方程中,建立了一阶和二阶记忆依赖型微分方程.然后讨论当满足何种条件时,方程存在唯一的显式解.根据解的延拓定理可将方程组区间上的解进行延拓,并利用分步估计放缩的方法讨论其解对初值的连续依赖性.随后研究了当核函数取固定形式时,求方程组精确解的方法.最后利用数值方法讨论其解与所对应常微分方程组的解之间的联系.结果显示在初始阶段二者数值解之间存在极小的差距,当时间不断增大时差距也逐渐明显,但时滞越大时两个方程组解之间的差距反而越小.对分量,两个方程组在前期都表现出缓慢的下降趋势,随着时间的增大普通方程组的衰减速度开始增大.对分量,两个方程组在前期都呈现出缓慢的上升趋势,但随时间的增大,普通方程组的解呈现下降趋势.对二阶记忆依赖型微分方程,在讨论其是否存在唯一解时,因其转化的积分方程既包含一重积分也包含二重积分,故通过限制其条件对其进行转化.随后考虑当核函数取固定形式时,寻找方程精确解的方法.最后考虑时滞对其解的影响.结果显示:当时滞越大时,二阶记忆依赖型微分方程的解在前期和后期就越大,中间时段时恰好相反,时滞的变化对常微分方程的解无影响.本文研究是将MDD代入常微分方程所组成的记忆依赖型微分方程.而MDD是FD的延伸,解决了FD的问题,其计算过程简便,在应用方面有指导意义.
李超[3]（2021）在《“高观点”下高中导数解题及教学研究》文中研究指明随着普通高中数学课程改革不断深入,《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出数学教师要理解与高中数学关系密切的高等数学内容,能够从更高的观点理解高中数学知识的本质,这对从事数学教育工作者的本体性知识（学科知识）提出了更高的要求.导数是连接高等数学和初等数学的重要桥梁,且部分导数试题的命制具有一定高等数学的背景.因此,这项研究选取高中导数内容,在“高观点”的指导下重点研究以下三个问题:（1）揭示部分高考导数试题具有的高等数学背景;（2）如何将高等数学的思想、观点和方法渗透到中学数学中去;（3）通过具体案例展示如何在“高观点”的指导下进行高中导数内容的解题和教学.这项研究通过对高中教师和学生的问卷调查,在“高观点”指导下研究高中导数内容的解题和教学,得出了以下两方面的结论:在解题方面,整理分析了近十年（以全国卷为主）具有高等数学背景的高考导数试题,导数试题的命题背景主要有四个方面:以高等数学中的基本定义和性质为命题背景、以高等数学中的重要定理和公式为命题背景、以着名不等式为命题背景、以高等数学中的重要思想方法为命题背景;总结了用“高观点”解决高考导数试题时常犯的四类错误:知识性错误、逻辑性错误、策略性错误、心理性错误;提出五项解题方法:创设引理破难题、洛氏法则先探路、导数定义避超纲、构造函数显神通、多元偏导先找点.在教学方面,通过对高中学生和高中教师进行问卷调查分析,从前人研究的基础上,提出“高观点”下高中导数教学的三个特点:衔接性、选择性、引导性;认为“高观点”下高中导数的教学应遵循四项基本的教学原则:严谨性原则、直观性原则、因材施教原则、量力性原则;提出相应的五项教学策略:开发例题,拓展升华策略、引入四规则,知识呈现多样化策略、先实践操作,后说理策略、融合信息技术,直观解释策略、引导方向,自主学习策略.
易玉连[4]（2020）在《几类非线性随机微分方程的数值方法研究》文中认为自然界中随机现象无处不在,用确定性微分方程来刻画此类现象已达不到人们对建模的精度要求了。随机微分方程能很好地模拟各种随机问题,现已在遗传学、金融学、化学工程、航天控制等领域得到了广泛应用。但通常很难获得随机微分方程精确解的显式表达式,因此研究随机模型的数值方法具有重要意义。本文主要探讨了求解几类非线性随机微分方程数值格式的收敛性、稳定性和保正性等性质。主要包含了如下几个方面的工作。针对高度非线性随机常微分方程,我们构造了两类显式两步随机方法,即投影两步Euler方法和投影两步Milstein方法。在全局单调性条件下,基于方法的稳定性和相容性,证明了方法的均方收敛性,并获得了投影两步Euler方法和投影两步Milstein方法的均方收敛阶分别为1/2和1.特别地,全局单调性条件允许漂移系数和扩散系数超线性增长,因此所得的均方收敛性结论适用于漂移和扩散系数都是非线性的随机常微分方程。构造了求解Markov调制的随机微分方程的两类显式投影Euler方法。在单调性条件和多项式增长条件下,基于数值方法的局部性质分析了方法的收敛性。此外,还将这两类格式应用于带小噪声的高度非线性随机常微分方程和高度非线性Markov调制的随机微分方程,并通过分析数值格式的稳定性和局部截断误差,获得了这两类方法的均方收敛性和收敛速度。研究了高度非线性中立型随机延迟积分微分方程的分裂步theta方法的渐近有界性、稳定性和强收敛性。在广义强制性条件下,证明了当θ ∈[1/2,1]时,分裂步theta方法所获得的数值解强收敛于方程的精确解。此外,还证明了若θ∈(1/2,1]时,该方法可以无条件保持原方程精确解的均方渐近有界性和均方指数稳定性,并且当步长足够小时,还可以保持精确解的均方渐近界和指数衰减率。针对一类具有正解的随机常微分方程,基于对数变换构造了显式保正数值方法,并获得了这些方法的几乎必然收敛性、Lq收敛性以及相应的收敛速度。对数变换后得到的新方程的系数可能呈指数增长,所以本文还在随机常微分方程的系数呈指数增长的条件下,证明了显式截断Euler方法的强收敛性。
尹坤[5]（2020）在《带有反常扩散的非局部动力系统的惯性流形》文中研究表明本文主要研究了如何证明非局部发展方程以及耦合系统的惯性流形的存在性。第一部分,简单介绍了惯性流形的定义、发展、应用、我们的研究背景和研究意义,以及在证明过程中用到的偏微分方程、算子半群、索伯列夫空间、无穷维动力系统等相关知识。第二部分,考虑带有非局部Laplacian算子（-△）2（0<α<2）的非局部发展方程,在1≤α<2时,在满足“谱间隙条件”下证明了惯性流形的存在性,但空间维数是1维。第三部分,我们研究了由偏微分方程和常微分方程组成的耦合系统的惯性流形存在性。利用“空间平均原理”和“抽象不变流形定理”找出我们所需要的Lipschitz函数,再证明指数追踪性质,以此得到耦合系统惯性流形的存在性,证明过程中我们并未使用“谱间隙条件”,并且空间维数是3维。第四部分,对研究课题进行回顾和展望,指出空间平均原理的局限性以及非局部发展方程中的算子（-△）α/2在0<α<1时,由于谱的分布而无法使用空间平均原理,因此无法证明惯性流形在0<α<1时的存在性。同时,我们分析了惯性流形与控制理论的联系,并给出了一些可继续研究的方向。
万嘉伟[6]（2020）在《龙格-库塔法数值求解基于有限体积的不可压Navier-Stokes方程和流固耦合问题》文中指出本文以求解非交错网格上不可压Navier-Stokes（N-S）方程以及多相（即由流体子系统及其动网格和结构子系统组成的）流固耦合问题为研究对象,以有限体积法为基础,研究探讨其中所涉及的数值求解问题和方法。不可压N-S方程属于低速流体（流速小于0.3马赫）运动控制方程,其一般形式在数学上为偏微分方程。针对N-S方程的数值求解可分为两步:首先,选用一种合适的离散方法（如有限差分法,有限体积法和有限元法）对方程在计算域内进行空间离散,从而得到计算域内各个离散点上的速度微分方程和压力代数方程,这些离散点构成了计算网格;然后,时域求解经空间离散得到的微分方程和代数方程系统,获得离散点上速度和压力在不同时刻的数值解。经有限差分法、有限元法或交错网格上的有限体积法离散得到的不可压N-S方程可被视为指标2微分代数系统（数学上,同时包含微分方程和代数方程的系统被称为微分代数系统,并引入指标概念来区别不同类型的微分代数系统。常见的微分代数系统有指标1、指标2和指标3三种。指标数越高,其对应的微分代数系统越复杂）。但是,在工程应用中,非交错网格上的有限体积法被更广泛的应用。而经非交错网格上的有限体积法离散得到的不可压N-S方程是无法被直接认定为指标2微分代数系统。这是因为,在进行空间离散时,需要添加动量插值这一特殊操作来得到非交错网格单元界面上的离散速度场。单元界面上的离散速度场作为一个新参变量,与网格单元中心上的离散速度场和压力场,共同参与到N-S方程的空间离散过程中来。动量插值的插值格式最先由Rhie和Chow提出。在现有研究中,动量插值对空间离散后N-S方程的微分代数属性的影响从未被探究过。该影响若不明确,将无法有效分析时间离散方法在求解基于非交错网格和有限体积法的不可压N-S方程时的精度。此外,动量插值在的数值上实现的难易程度与时间离散格式的复杂程度也息息相关（例如,对于基于龙格-库塔法的时间离散格式,动量插值需消耗大量的计算资源）。针对以上问题,本文首先提出了一种新的动量插值格式。该动量插值格式具有区别于其它格式的两个显着特点:1、插值对象是半离散（即仅经过空间离散）的N-S方程而非完全离散的方程;2、插值前,需对N-S方程中的对流项和扩散项按特定的格式进行拆分和重组,此特定格式依赖于定义在网格单元界面上的系数。采用本文新提出的动量插值格式,经空间离散后的不可压N-S方程可被严格认定为指标2的微分代数问题。本文还对新动量插值格式的精度、收敛性以及它能否在静止或运动网格上维持恒定均匀流的流场状态依次进行了检验。依据以上提及的N-S方程数值求解步骤,本文的第二大研究问题为:时域求解经空间离散得到的微分方程和代数方程系统（即微分代数问题的求解）。这一求解步所运用的数值方法被称为时间离散方法（或时间积分方法）。N-S方程的计算域可以是静止的,也可以随边界的运动而变化。在后一种情况中,如果运动边界为可变形或移位的结构体与流体的接触面,那么在对N-S方程进行空间离散的同时还需要引入结构运动方程以及适应于运动边界的网格运动方程,这便是前述的多相流固耦合系统。通过时域求解该系统,可以获得流体和结构在不同时刻的响应。常用的微分代数问题数值求解方法包括多步法和龙格-库塔法两大类。与多步法相比,龙格-库塔法具有精度高、稳定性强、可自适应时间步长和自启动等优点。值得一提的是,多步法和龙格-库塔法最初都是为了求解常微分问题而提出。微分代数问题与常微分问题具有不同的性质,且前者求解难度更高。同一数值方法在常微分问题和不同指标的微分代数问题中的局部精度和整体收敛阶次都有可能不同。现有研究还没有广泛认识到空间离散后的N-S方程属于微分代数问题而非常微分问题这一事实,许多研究默认数值方法在常微分问题中的局部和整体误差阶数与其在时域求解N-S方程时的局部和整体误差阶数一致。从应用角度来看,基于向后差分的多步法在开源和商业计算流体力学软件中被广泛运用,而龙格-库塔法在求解N-S方程中的应用研究仍然停留在学术层面。而且,学术界对于具体哪些类型的龙格-库塔法更适合于N-S方程的时域求解,以及如何简单高效的使用它们尚未达成共识。基于以上原因,本文以求解不可压N-S方程和流固耦合问题为目标,对现有的龙格-库塔法进行了改进和创新,进而构建具有低内存占用,易实现和高阶收敛等优点的数值求解方法。具体研究内容包括一下三个方面:（1）以静止网格上的半离散不可压N-S方程为求解对象,将其视为特殊的指标2微分代数问题,提出了一种新的隐式龙格-库塔法。与传统方法相比,该方法能够显着提高计算效率以及压力数值解在非定常速度边界问题中的整体误差的收敛阶次。在所有隐式龙格-库塔法中,满足stiff-accurate条件的对角隐式龙格-库塔（DIRK）法因其计算量偏小等特点而更具有优势。当半离散不可压N-S方程的真实解存在且光滑,本文新提出的方法能够使DIRK格式求得的速度和压力数值解均按经典阶数（即DIRK法在常微分问题中的局部精阶数）收敛。在此方法的基础上,本文进一步构建了两类低内存占用的满足stiff-accurate条件的DIRK格式,从而减少内存消耗。（2）以动网格上的半离散不可压N-S方程和多相流固耦合问题为求解对象,本文提出了一种特殊类型的分离式龙格-库塔法（命名为含显式子步的分离对角隐式龙格-库塔法,简称PEDIRK法）。该方法由一般的分离式龙格-库塔法衍变而来。PEDIRK法改善了现有对角隐式类型的龙格-库塔法在一般非线性指标2微分代数问题中的收敛性。分离式龙格-库塔法区别于一般的龙格-库塔法,这种方法通过引入一组额外的龙格-库塔系数和子步微分分量来实现更高精度的求解。同样,本文也为该方法提供了低内存占用且便于动量插值的数值格式,从而进一步提升计算效率。（3）研究探讨不同类型的龙格-库塔方法导出的离散N-S方程求解问题。N-S方程对流项的非线性,以及速度与压力的耦合效应给方程的求解带来了困难。本文将研究点放在如何突破这些难点,建立能在计算效率、求解精度以及软件模块化三项因素中取得良好平衡的迭代求解算法。本文还讨论分析了离散N-S方程的求解残差对数值解整体误差收敛性的影响。以上提出的龙格-库塔法和创建的具体格式不仅可以用于求解N-S方程和流固耦合问题,还可用于求解数学领域一般的微分代数问题。最后,本文开展了三项数值算例,用以检验新提出的动量插值格式以及龙格-库塔法的精度和收敛性。第一组算例采用不同的边界条件和空间离散格式对若干雷诺数下二维的泰勒格林漩涡进行模拟。第二组算例为振动圆柱的绕流问题。其中,圆柱振动模式分为垂直来流向的简谐振动,以及顺来流向和垂直来流向的耦合自由振动。第三组算例为理想平板颤振导数识别。通过以上数值算例,本文所提出的一系列方法的收敛性都被一一验证。
罗东升[7]（2020）在《几类微分耦合系统的时间最优控制》文中研究指明世界是联系的,联系是相互的,这就决定了实际生产生活中有许多现象可以用微分耦合系统的数学模型来描述,如微波加热和化学反应等.如何选择恰当的控制,使得微分耦合受控系统在最短的时间内达到所期待的目标,这就是耦合系统的时间最优控制问题.这一类问题是控制理论和控制工程所关注的问题.本论文主要研究了从有限维到无穷维的三类微分耦合受控系统的时间最优控制问题:线性常微分耦合系统、由Maxwell方程和热传导方程耦合系统所刻画的微波加热系统和描述震动系统的Petrowsky方程的时间最优控制问题,证明了时间最优控制存在性及其充要条件和时间最优控制的bang-bang性.其具体内容如下:1.关于线性常微分耦合受控系统,论文研究了强耦合和弱耦合系统两种情形,针对每种情形研究了时变和时不变两类系统的能达集的性质,给出了系统能控性的几个等价条件;针对每类系统相应的时间最优控制问题,证明了解的存在性,给出了最优控制和最优轨迹满足的条件,推导了时间最优控制具有bang-bang性.2.对于微波加热系统,根据微波加热的原理和电磁理论可知,微波加热过程由Maxwell方程与热传导方程的耦合系统描述,根据被加热材料的特性,可分为弱耦合系统和强耦合系统.论文在建立了微波加热系统的时间最优控制问题的数学模型的基础上,分别针对微波加热强弱两类耦合系统研究其时间最优控制问题.对于弱耦合系统,通过抛物型方程的Carlman不等式,利用Hahn-Banach定理和Riesz表现定理证明弱耦合受控系统状态的零能控性;进而采用极小化序列和泛函分析技巧证明了时间最优控制问题解的存在性,然后结合零能控性,推导出微波加热弱耦合系统的时间最优控制具有bang-bang性.对于强耦合系统,借助Kakutani不动点定理证明了微波加热强耦合受控系统的零能控性,进一步证明了强耦合系统时间最优控制问题解的存在性.最后,不同于弱耦合系统情形,通过Carlman不等式建立系统状态与控制之间的精确的估计,利用反证法证明了微波加热强耦合系统的时间最优控制具有bang-bang性.3.对于Pestrowsky方程,根据其系统的能控性与零能控性的等价性,探讨了Pestrowsky方程受控系统的零能控的充要条件,进而引入泛函极值的方法证明了Petrowsky系统的能控性和Petrowsky系统的时间最优控制的存在性;最后应用反证法,通过系统的零能控性证明了时间最优控制的bang-bang性.本文的创新之处主要有以下几个方面:常微分方程耦合系统的时间最优控制问题研究,为复杂系统以及多控制多目标最优控制问题的研究提供了一定的数学基础.微波加热系统的时间最优控制问题的研究,具有较好的应用前景,其讨论时间控制的方法,特别是时间最优控制的bang-bang性的证明,方法有新意.对于Petrowsky系统的时间最优控制问题,将受控系统的零能控性的充要条件视为一个线性泛函极值的必要条件,改变了看问题的角度和解决问题的方法.对三类耦合系统的时间最优控制都探讨了其控制的bang-bang性.论文的最后我们对后续的研究工作进行了展望.
贾国华[8]（2020）在《几类具有奇性的Liénard型方程周期解问题的研究》文中研究说明本文主要研究了具有不定吸引型奇性和排斥性奇性的微分方程周期正解的存在性问题.全文一共分为五章,主要安排如下:第一章分为三个小节.我们在第一节中介绍了具有奇性微分方程周期解问题的研究现状与发展趋势;在第二节中简要叙述了本文的主要工作及创新点;在第三节中,我们主要介绍了Mawhin重合度拓展定理.第二章我们主要利用Mawhin重合度拓展定理研究了一类具有排斥型奇性的Liénard方程周期正解的存在性问题.与已有工作不同的是,我们不仅证明出了方程存在周期正解的充分条件,还证明了其必要性.本章的创新点在于允许方程中Liénard项的系数f（x）在x=0处具有奇性且允许方程中恢复力项超线性增长.第三章我们研究了一类具有不定吸引型奇性的Liénard方程周期正解的存在性问题,利用Mawhin重合度拓展定理,证明出方程至少存在一个T-周期正解.本章的创新点是允许方程中的σ<1,且允许在[0,T]的某个子区间上α（t）≡0,此外,在一定条件下获得了方程存在周期正解的充分必要条件.第四章我们研究了一类具有排斥性奇性的二阶时滞型微分方程周期正解的存在性问题.利用Mawhin重合度拓展定理,证明出方程至少存在一个T-周期正解.本文的创新点是允许方程中的ψ（t）变号,且所研究的方程是时滞微分方程.最后,第五章我们对全文进行了总结,并对相关奇性微分方程周期正解存在性问题进行了展望与思考.
邹玉梅[9]（2019）在《几类非线性微分系统解的存在性和唯一性》文中提出自然界中系统是一种普遍的存在,任何事物和过程都可以看作组织性程度不同的系统.系统科学是以复杂系统为研究对象,研究系统内部或系统间的结构、性质、演化和规律,揭示复杂系统的共性及演化过程中所遵循的共同规律.微分方程是描述系统的重要工具,已广泛用于不同的复杂系统建模,其解的存在性和唯一性一直受到高度重视.通过分析相应微分方程解的各种特性,能够对所研究的系统获得某些定性和定量的认识,能够揭示系统结构、参数与性能特性间的内在联系.20世纪80年代以后,非线性科学和复杂性研究的兴起使得非线性问题迅速成为国际上科学研究的前沿和热点,对非线性泛函分析新方法及其应用的探讨,无疑具有重要的理论意义和应用价值.因此,利用非线性泛函分析对微分方程边值问题解的研究具有非常重要的理论和实践意义.本文研究了几类微分方程边值问题的解,主要研究工作如下:—、几类非线性微分方程边值问题正解的存在性（1）研究了非线性二阶微分方程奇异积分边值问题正解的存在唯一性.提出并证明了Riemann-Stielties积分边值问题的极值原理;验证边值问题属于正锥的任何解的范数都存在正的上下界;将极值原理结合上下解和Schauder不动点理论,在一定假设条件下,建立并证明了Riemann-Stielties积分边值问题正解的存在唯一性定理.（2）研究了具有完全形式的非线性四阶微分方程边值问题正解的存在性.首次给出具有完全形式的四阶微分方程的边值问题的降阶形式,提出并证明了降阶微分方程对应齐次线性方程线性算子的谱理论;将所建立的谱理论与不动点指数结合,当非线性项次线性增长时,本文给出并证明了正解的一个存在性定理,该定理结论是最优的.当非线性项超线性增长时,本文仅考虑包含一阶导数时,利用对应齐次线性方程的谱理论及不动点指数定理,在特定的正锥上得到并证明了解存在性定理且结论是最优的.（3）研究了含有p-Laplacian非线性四阶微分方程边值问题正解的存在性.研究了非线性p-Laplacian四阶微分方程的特征值问题,证明了该齐次算子在锥上存在唯一的正就范特征向量;利用齐次算子对应的第一特征值与不动点指数理论,给出并证明了非线性项在超线性和次线性增长情形下非线性p-Laplacian四阶微分方程正解的存在性,且两种情形下结论都是最优的.二、非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性.（1）研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性.构造了一个新的Banach空间Ce[0,1],在该空间里研究分数阶奇异微分方程的边值问题的唯一解.在分数阶奇异微分方程的非线性函数满足广义Lipschitz条件下,利用Banach压缩映像原理和e-范数得到并证明了分数阶奇异微分方程的边值问题的唯一解定理.该结论适用范围更广且非线性函数所需满足广义Lipschitz条件更易验证.（2）研究了在共振条件下非线性分数阶微分方程积分边值问题解的存在性.将问题转化成抽象算子方程Lx=Nx,证明了算子L是一个指标为零的Fredholm算子;在一定假设条件下,基于Mawhin迭合度理论建立并证明了分数阶微分方程积分边值问题解的存在性定理.三、非线性微分系统耦合积分边值问题解的存在性和唯一性（1）研究了含有导数项的非线性二阶微分系统耦合边值问题解的存在性.提出了非线性含有导数项的二阶微分系统耦合边值问题上-下解和下-上解的定义,利用上-下解和下-上解构造了修正的边值问题;在非线性项满足Nagumo条件下给出并证明了微分系统边值问题解的存在性定理.（2）研究了非线性二阶微分系统耦合边值问题极解的存在性.提出并证明了二阶微分系统耦合边值问题的比较原则;利用Fredholm定理证明了二阶线性微分系统耦合边值问题解的存在性;利用所建立的比较原则和线性方程的存在唯一性定理,在非线性项满足单边Lipschitz条件下,应用单调迭代方法得到并证明了非线性二阶微分系统耦合边值问题极解的存在.四、在乘积空间上研究非线性算子的不动点定理.在乘积空间上,为了建立适用范围更广的不动点定理,本文借助正-1齐次算子和乘积锥上的不动点指数定理,在非线性算子方程组的非线性项存在正1-齐次的强函数和弱函数的条件下,建立并证明了非线性算子方程组一个新的不动点定理.将所建立的不动点定理应用到（p1,p2）-Laplacian微分系统,得到该系统边值问题正解的存在性定理,且该定理允许非线性项具有不同的增长条件.
崔倩倩[10]（2019）在《刚性常微分方程的一种求解方法》文中认为在航空、航天、热核反应、自动控制、电子网络及化学动力学等许多重要科学技术领域及实际问题中,经常遇到可用常微分方程描述的物理或者化学过程,这些工程往往包含着多个相互作用但变化速度相差十分悬殊的子过程,这就导致了常微分方程的解中既包含有衰减十分迅速的分量,又包含相对来说变化缓慢的变量.人们称上述过程具有”刚性”,描述这类问题的常微分方程的初值问题称为”刚性问题”.本文旨在提供一种方法将刚性常微分方程问题的所涉及的衰减十分迅速的变量和变化缓慢的变量区分开来.主要是用Schur分解来处理方程右端项的雅克比矩阵,原来的常微分方程的初值问题转化为带有微分变量和代数限制的微分代数方程问题.特别指出的是,这里得到的是微分代数方程是index-1型的微分代数方程.通过扰动分析理论考虑带有扰动项的微分代数方程和index-1型的微分代数方程问题.在对微分代数方程求解的过程中,由于渐进展开式的存在,可用外推法来求解微分变量y.对于外推公式中出现的可逆矩阵,我们利用LU分解.此外,用牛顿迭代法来求解代数变量z.同时,通过比较收敛率和谱半径的大小来判断下一步是否进行.2009年,Conte提出了多步配置方法,并成功地将此方法应用到Volterra积分方程中去.在文章的最后一节,将隐函数定理和多步配置方法结合,提供了一种求解index-1微分代数方程的思路.最后,我们给出了来源于化学反应的算例,并通过MATLAB编程得到了一定的数值结果.
二、积分中值定理的推广及在常微分方程中的应用（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、积分中值定理的推广及在常微分方程中的应用（论文提纲范文）
（1）具有奇性的二阶微分方程周期解问题的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| 1.1 研究工作的背景和发展概况 |
| 1.2 主要工作及创新点 |
| 1.3 常用记号和预备知识 |
| 第二章 具有奇性的Rayleigh方程周期解的存在性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备引理 |
| 2.3 主要结果 |
| 第三章 一类具有不定奇性的Lienard方程周期正解的存在性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备引理 |
| 3.3 主要工作 |
| 3.3.1 周期正解的存在性 |
| 3.3.2 定理3.3.2-3.3.3的证明 |
| 第四章 具有相对论作用的奇性方程周期解的存在性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 主要结果 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 本文总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 附录一 个人简介 |
| 附录二 致谢 |
（2）记忆依赖型微分方程解的性态研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题的研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 分数阶微分方程研究现状 |
| 1.2.2 记忆依赖型微分方程研究现状 |
| 1.3 本文主要内容与章节安排 |
| 1.4 符号说明 |
| 第2章 几类导数及其关系 |
| 2.1 导数与常见的分数阶导数 |
| 2.1.1 导数 |
| 2.1.2 常见的分数阶导数 |
| 2.2 记忆依赖型导数 |
| 2.2.1 记忆依赖型导数 |
| 2.2.2 记忆依赖型导数与导数的关系 |
| 2.2.3 记忆依赖型导数与分数阶导数的关系 |
| 第3章 一阶记忆依赖型微分方程组解的性态研究 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 解的存在唯一性 |
| 3.3 解对初值的连续依赖性 |
| 3.4 线性方程组的解法 |
| 3.5 与常微分方程组相比 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 二阶记忆依赖型微分方程解的存在唯一性及其解法 |
| 4.1 解的存在唯一性 |
| 4.2 二阶线性非齐次记忆依赖型微分方程的解法 |
| 4.3 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士期间发表的学术论文及科研论文 |
| 致谢 |
（3）“高观点”下高中导数解题及教学研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究的背景 |
| 1.1.1 数学教师专业素养发展的需要 |
| 1.1.2 优秀高中学生自身发展的需求 |
| 1.1.3 导数在高中数学教学及高考中的地位 |
| 1.2 核心名词界定 |
| 1.2.1 高观点 |
| 1.2.2 导数 |
| 1.2.3 数学教学 |
| 1.2.4 解题 |
| 1.3 研究的内容和意义 |
| 1.3.1 研究的内容 |
| 1.3.2 研究的意义 |
| 1.4 研究的思路 |
| 1.4.2 研究计划 |
| 1.4.3 研究的技术路线 |
| 1.5 论文的结构 |
| 第2章 文献综述 |
| 2.1 文献搜集 |
| 2.2 高观点下中学数学的研究现状 |
| 2.2.1 国外研究的现状 |
| 2.2.2 国内的研究现状 |
| 2.3 高观点下高中导数的研究现状 |
| 2.3.1 国外研究的现状 |
| 2.3.2 国内研究的现状 |
| 2.4 文献述评 |
| 2.5 小结 |
| 第3章 研究设计 |
| 3.1 研究的目的 |
| 3.2 研究的方法 |
| 3.2.1 文献研究法 |
| 3.2.2 问卷调查法 |
| 3.2.3 案例研究法 |
| 3.3 研究工具及研究对象选取 |
| 3.4 研究伦理 |
| 3.5 小结 |
| 第4章 调查研究及结果分析 |
| 4.1 教师调查问卷的设计及结果分析 |
| 4.1.1 调查问卷设计 |
| 4.1.2 实施调查 |
| 4.1.3 调查结果分析 |
| 4.1.3.1 问卷的信度分析 |
| 4.1.3.2 问卷的效度分析 |
| 4.1.3.3 问卷的结果分析 |
| 4.2 学生调查问卷的设计及结果分析 |
| 4.2.1 调查问卷设计 |
| 4.2.2 实施调查 |
| 4.2.3 调查结果及分析 |
| 4.3 调查结论 |
| 4.4 小结 |
| 第5章 “高观点”下高中导数的解题研究 |
| 5.1 “高观点”下高考导数试题的命题背景 |
| 5.1.1 以高等数学中的基本定义和性质为命题背景 |
| 5.1.1.1 高斯函数 |
| 5.1.1.2 函数的凹凸性 |
| 5.1.2 以高等数学中的重要定理或公式为命题背景 |
| 5.1.2.1 洛必达法则 |
| 5.1.2.2 拉格朗日中值定理 |
| 5.1.2.3 拉格朗日乘数法 |
| 5.1.2.4 柯西中值定理 |
| 5.1.2.5 柯西函数方程 |
| 5.1.2.6 泰勒公式与麦克劳林公式 |
| 5.1.2.7 极值的第三充分条件 |
| 5.1.2.8 两个重要极限 |
| 5.1.2.9 欧拉常数 |
| 5.1.3 以着名不等式为命题背景 |
| 5.1.3.1 伯努利不等式 |
| 5.1.3.2 詹森不等式 |
| 5.1.3.3 对数平均不等式 |
| 5.1.3.4 斯外尔不等式 |
| 5.1.3.5 惠更斯不等式 |
| 5.1.3.6 约当不等式 |
| 5.1.4 以高等数学中的重要思想方法为命题背景 |
| 5.1.4.1 极限思想 |
| 5.1.4.2 积分思想 |
| 5.1.4.3 (常微分)方程思想 |
| 5.2 “高观点”下高考导数解题中常见的四类错误 |
| 5.2.1 知识性错误 |
| 5.2.1.1 柯西中值定理的误用 |
| 5.2.1.2 拉格朗日中值定理的误用 |
| 5.2.1.3 多元函数求最值,不注意边界情况 |
| 5.2.1.4 不注意洛必达法则使用的前提 |
| 5.2.2 逻辑性错误 |
| 5.2.2.1 循环论证 |
| 5.2.2.2 混淆充分条件和必要条件的逻辑关系 |
| 5.2.3 策略性错误 |
| 5.2.4 心理性错误 |
| 5.3 “高观点”下高考导数解题的方法 |
| 5.3.1 创设引理破难题 |
| 5.3.2 洛氏法则先探路 |
| 5.3.3 导数定义避超纲 |
| 5.3.4 构造函数显神通 |
| 5.3.5 多元偏导先找点 |
| 5.4 “高观点”下高考导数解题研究的案例 |
| 5.4.1 “高观点”视角研究解题方法 |
| 5.4.2 “高观点”视角研究试题的命制 |
| 5.5 小结 |
| 第6章 “高观点”下高中导数的教学研究 |
| 6.1 “高观点”下高中导数教学的教学特点 |
| 6.1.1 衔接性 |
| 6.1.2 选择性 |
| 6.1.3 引导性 |
| 6.2 “高观点”下高中导数教学的教学原则 |
| 6.2.1 严谨性原则 |
| 6.2.2 直观性原则 |
| 6.2.3 因材施教原则 |
| 6.2.4 量力性原则 |
| 6.3 “高观点”下高中导数教学的教学策略 |
| 6.3.1 开发例题,拓展升华策略 |
| 6.3.2 引入四规则,知识呈现多样化策略 |
| 6.3.3 先实践操作,后说理策略 |
| 6.3.4 融合信息技术,直观解释策略 |
| 6.3.5 引导方向,自主学习策略 |
| 6.4 “高观点”下高中导数的教学案例 |
| 6.4.1 常微分方程视角下的教学案例 |
| 6.4.2 微积分视角下的教学案例 |
| 6.4.3 “泰勒公式”的教学案例 |
| 6.5 小结 |
| 第7章 结论与反思 |
| 7.1 研究的结论 |
| 7.2 研究的不足及展望 |
| 7.3 结束语 |
| 参考文献 |
| 附录 A 教师调查问卷 |
| 附录 B 学生调查问卷 |
| 攻读学位期间发表的论文和研究成果 |
| 致谢 |
（4）几类非线性随机微分方程的数值方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题的研究背景 |
| 1.2 课题的研究现状 |
| 1.2.1 随机常微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.2.2 Markov调制的随机微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.2.3 随机延迟微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.3 常用符号 |
| 1.4 本文的主要研究内容 |
| 第2章 非线性随机常微分方程显式两步方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 投影两步EM方法 |
| 2.3.1 投影两步EM方法的稳定性 |
| 2.3.2 投影两步EM方法的相容性 |
| 2.3.3 投影两步EM方法的收敛性 |
| 2.4 投影两步Milstein方法 |
| 2.4.1 投影两步Milstein方法的稳定性 |
| 2.4.2 投影两步Milstein方法的相容性 |
| 2.4.3 投影两步Milstein方法的收敛性 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 非线性Markov调制的随机微分方程显式投影方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 投影单步EM方法的收敛性 |
| 3.4 投影两步EM方法的收敛性 |
| 3.5 小噪声随机常微分方程投影方法的收敛性 |
| 3.6 小噪声Markov调制的随机微分方程投影方法的收敛性 |
| 3.7 数值实验 |
| 3.8 本章小结 |
| 第4章 非线性中立型随机延迟积分微分方程分裂步theta方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 全局解的存在唯一性 |
| 4.3 分裂步theta方法以及它的矩性质 |
| 4.4 分裂步theta方法的收敛性 |
| 4.5 分裂步theta方法的渐近有界性和均方指数稳定性 |
| 4.6 数值实验 |
| 4.7 本章小结 |
| 第5章 非线性随机常微分方程保正对数方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 问题描述 |
| 5.3 数值方法的几乎必然收敛性 |
| 5.4 数值方法的强收敛性 |
| 5.5 数值方法的收敛速率 |
| 5.6 数值实验 |
| 5.7 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（5）带有反常扩散的非局部动力系统的惯性流形（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究意义 |
| 1.3 研究内容 |
| 2 预备知识 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 准备知识 |
| 3.3 局部和全局解 |
| 3.4 惯性流形的存在性 |
| 4 带有二阶常微分方程的耦合方程组的惯性流形 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 空间平均原理 |
| 4.3 抽象不变流形定理 |
| 4.4 耦合系统的惯性流形存在性 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（6）龙格-库塔法数值求解基于有限体积的不可压Navier-Stokes方程和流固耦合问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 N-S方程空间离散研究现状 |
| 1.3 N-S方程时域求解研究现状 |
| 1.4 动网格和流固耦合问题研究现状 |
| 1.5 湍流模拟研究现状 |
| 1.6 本文研究内容 |
| 第2章 不可压N-S方程的空间离散 |
| 2.1 动量守恒方程和连续性方程的空间离散 |
| 2.2 网格法向移动速度的计算 |
| 2.3 非交错网格上的动量插值 |
| 2.3.1 传统基于离散动量方程的插值 |
| 2.3.2 基于半离散动量方程的插值 |
| 2.3.3 动量插值格式的空间收敛性 |
| 2.4 流固耦合问题 |
| 2.5 本章小节 |
| 第3章 隐式龙格-库塔法求解静网格上的不可压N-S方程 |
| 3.1 微分代数问题中的传统隐式龙格-库塔法 |
| 3.2 隐式龙格-库塔法的收敛性和阶次条件 |
| 3.3 一种新隐式龙格-库塔方法 |
| 3.4 龙格-库塔内部阶段速度的边界条件 |
| 3.5 对角隐式龙格-库塔法的低内存实现 |
| 3.6 本章小节 |
| 第4章 分离式龙格-库塔法求解动网格上的不可压N-S方程 |
| 4.1 分离式龙格-库塔法的一般格式 |
| 4.2 分离式龙格-库塔法的收敛性 |
| 4.3 分离式龙格-库塔法的阶次条件 |
| 4.4 本章小节 |
| 第5章 龙格-库塔内部阶段离散不可压N-S方程的求解 |
| 5.1 静止网格上的离散不可压N-S方程 |
| 5.2 运动网格上的离散不可压N-S方程 |
| 5.3 两相流固耦合问题的离散方程 |
| 5.4 本章小节 |
| 第6章 数值试验 |
| 6.1 泰勒-格林漩涡 |
| 6.1.1 空间精度验证 |
| 6.1.2 时间精度验证 |
| 6.2 振动圆柱的绕流 |
| 6.2.1 雷诺数33强迫振动圆柱 |
| 6.2.2 雷诺数100自由振动圆柱 |
| 6.2.3 雷诺数3000~10000自由振动圆柱的大涡模拟 |
| 6.3 理想平板上的气动力 |
| 6.4 本章小节 |
| 第7章 结论 |
| 7.1 空间离散方法 |
| 7.2 时间离散方法 |
| 7.3 数值算例的验证 |
| 7.4 方法的限制和未来工作的展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 符号列表 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及科研成果 |
（7）几类微分耦合系统的时间最优控制（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 微分方程最优控制简介 |
| 1.1.2 微分方程的时间最优控制及研究现状 |
| 1.1.3 微分耦合系统最优控制及其时间最优控制的研究现状 |
| 1.2 问题提出 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 1.3.1 线性常微分耦合系统的时间最优控制问题 |
| 1.3.2 微波加热时间最优控制问题 |
| 1.3.3 一类震动系统的时间最优控制问题 |
| 1.4 创新之处 |
| 1.5 论文结构 |
| 第二章 数学预备知识 |
| 2.1 实变函数和泛函分析的几个重要结论 |
| 2.2 微分方程的几个结论 |
| 2.3 Sobolev空间 |
| 第三章 线性常微分耦合系统的时间最优控制问题 |
| 3.1 线性时不变常微分方程耦合系统的时间最优控制问题 |
| 3.1.1 线性时不变弱耦合系统的时间最优控制问题 |
| 3.1.2 线性时不变强耦合系统的时间最优控制问题 |
| 3.2 线性时变常微分方程耦合系统的时间最优控制问题 |
| 3.2.1 线性时变弱耦合系统的时间最优控制问题 |
| 3.2.2 线性时变强耦合系统的时间最优控制问题 |
| 第四章 微波加热系统的时间最优控制问题 |
| 4.1 时间最优控制问题的数学描述 |
| 4.2 弱耦合系统的时间最优控制问题 |
| 4.2.1 受控系统解的存在性 |
| 4.2.2 受控系统的能控性 |
| 4.2.3 时间最优控制的存在性 |
| 4.2.4 时间最优控制的bang-bang性 |
| 4.3 强耦合系统时间最优控制问题 |
| 4.3.1 受控系统的能控性 |
| 4.3.2 时间最优控制的存在性 |
| 4.3.3 时间最优控制的bang-bang性 |
| 4.4 结论 |
| 第五章 一类震动系统的时间最优控制问题 |
| 5.1 一类震动系统的时间最优控制问题的描述 |
| 5.2 Petrowsky系统的解及其相关半群理论 |
| 5.3 Petrowsky系统的能控性 |
| 5.4 Petrowsky系统时间最优控制的存在性 |
| 5.5 Petrowsky系统时间最优控制的bang-bang性 |
| 第六章 本文总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间科研和论文情况 |
（8）几类具有奇性的Liénard型方程周期解问题的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| 1.1 奇性微分方程的背景及发展概况 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 1.3 预备知识 |
| 第二章 Liénard方程存在周期正解的充分必要条件 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备引理 |
| 2.3 主要结果 |
| 第三章 一类具有奇性的Liénard方程周期正解的存在性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备引理 |
| 3.3 主要结果 |
| 第四章 具有排斥型奇性的二阶时滞微分方程周期正解的存在性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备引理 |
| 4.3 主要结果 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 本文总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 附录一 个人简介 |
| 附录二 致谢 |
（9）几类非线性微分系统解的存在性和唯一性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 变量注释表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 主要研究内容及安排 |
| 1.4 论文主要创新点 |
| 2 非线性微分方程边值问题正解的存在性 |
| 2.1 非线性二阶微分方程积分边值问题正解的存在唯一性 |
| 2.2 具有完全形式的非线性四阶常微分方程边值问题的正解 |
| 2.3 含p-Laplacian算子的非线性微分方程边值问题的正解 |
| 3 非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性 |
| 3.1 一类分数阶微分方程边值问题的唯一解 |
| 3.2 共振条件下分数阶微分方程积分边值问题的解 |
| 4 非线性二阶微分系统的耦合积分边值问题 |
| 4.1 含一阶导数项的二阶微分系统耦合积分边值问题解的存在性 |
| 4.2 二阶微分系统耦合积分边值问题极解的存在性 |
| 5 乘积空间上非线性算子的不动点定理及其应用 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 非线性算子的不动点定理 |
| 5.3 (p_1,p_2)-Laplacian系统正解的存在性定理 |
| 6 总结与展望 |
| 6.1 论文主要研究工作总结 |
| 6.2 今后研究工作展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 致谢 |
| 学位论文数据集 |
（10）刚性常微分方程的一种求解方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 论文结构 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 定义和引理 |
| 2.2 非线性方程组的求解 |
| 2.3 微分代数方程 |
| 2.3.1 微分代数方程的产生 |
| 2.3.2 微分代数方程的分类 |
| 第3章 刚性常微分方程的初值问题的处理 |
| 3.1 刚性常微分方程的初值问题和微分代数方程的转化 |
| 3.2 快慢变变量的选取 |
| 3.3 离散格式 |
| 3.4 外推 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 数值算例 |
| 第5章 微分代数方程的多步配置法 |
| 5.1 多步配置方法 |
| 5.2 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间所发表的学术论文 |
| 致谢 |
四、积分中值定理的推广及在常微分方程中的应用（论文参考文献）
- [1]具有奇性的二阶微分方程周期解问题的研究[D]. 周诗乐. 南京信息工程大学, 2021(01)
- [2]记忆依赖型微分方程解的性态研究[D]. 刘霞. 青岛理工大学, 2021(02)
- [3]“高观点”下高中导数解题及教学研究[D]. 李超. 云南师范大学, 2021(08)
- [4]几类非线性随机微分方程的数值方法研究[D]. 易玉连. 哈尔滨工业大学, 2020(02)
- [5]带有反常扩散的非局部动力系统的惯性流形[D]. 尹坤. 中国矿业大学, 2020(01)
- [6]龙格-库塔法数值求解基于有限体积的不可压Navier-Stokes方程和流固耦合问题[D]. 万嘉伟. 西南交通大学, 2020(06)
- [7]几类微分耦合系统的时间最优控制[D]. 罗东升. 贵州大学, 2020(04)
- [8]几类具有奇性的Liénard型方程周期解问题的研究[D]. 贾国华. 南京信息工程大学, 2020(02)
- [9]几类非线性微分系统解的存在性和唯一性[D]. 邹玉梅. 山东科技大学, 2019(06)
- [10]刚性常微分方程的一种求解方法[D]. 崔倩倩. 北京工业大学, 2019(03)